中国古算解趣

王国荣

                               中国古算解趣

  （年纪老，动动脑，身体健康精神好。闲来玩味古算题，童心未泯乐陶陶。）

  1、苏武牧羊
    当年苏武去北边，不知去了几多年。
    分明记得天边月，二百三十五番圆。
    答曰：一十九年      选自《算法统宗》

  苏武是西汉的使者，在公元100年奉命出使匈奴，被匈奴扣留并多方威胁诱降，始终坚贞不屈，大义凛然。后被流放北海（今贝加尔湖）牧羊，生活非常艰苦，不知过了多少年月，只记得天上月亮整整圆了235次，问苏武流放了多少年？
  这是一个简单的小学数学题，用算式表示就是
   235÷12=19……7
  本题不能答为十九年零七个月。因为根据中国农历十九年应有七个闰月，所以苏武在北海流放了十九年，直到匈奴与汉朝和好才遣送回国。

  为什么规定十九年七闰
  这是一个必须解决的实际问题，千百年来汇集了几十代数学家、天文学家的智慧和心血。
  大家知道，地球绕太阳一周所需的日数为一年。月亮绕地球一周所需的日数为一月。通常认为一年是360天，一月是30天，这样一年共有360÷30=12个月。其实这是很不精确的数据。
  我国对历法的研究有着悠久的历史，积累了大量的数据，有丰硕的研究成果。秦始皇统一六国后，根据长期观测的数据，定一年为365又1/4天，一月为29又499/940天。依据这个结果颁布了统一的历法，叫颛顼历（zhuān  xū）是传说中古代部落的领袖，号高阳氏。实际上颛顼历在周朝末年已经制定，秦朝统一施行）。这样一年应有
  365又1/4 ÷29又499/940=343335/27759=12又7/19 个月。
  这个结果告诉我们，苏武在匈奴235个月恰好是19年。

  十九年七闰在我国使用了近二千年，随着观测精度的提高，发觉不够精确。古代数学家祖冲之在1500年前就提出“以旧章法，十九岁七闰，闰数为多，经二百年辄差一日，节闰既移，则应改法。”他实测地球绕太阳一周是365又9589/39491天，月亮绕地球一周是116321/3939天。
  祖冲之根据这个计算结果修改原来的历法，制定了《大明历》，于公元462年建议：“以旧法一章十九岁有七闰，闰数为多，经二百年辄差一日，……今改章法三百九十一年有一百四十四闰，”并认为“将来永用，无法变动。”当时祖冲之仅33岁。

王国荣

2、粒米求程
      庐山山高八十里，山峰顶上一粒米。
      黍米一转只三分，几转转到山脚底。
       答曰：四百八十万转
                               选自《算法统宗》

  本题是说庐山从山顶到山脚有一条80里长的道路，山顶上有一粒黍米，滚动一周，行程3分，问沿着这条路滚到山脚底，共转了多少周？
  需要说明的是，这是一个明代的问题，取明朝的度量制度，
  1步=5尺 ， 1里=360步

  解  因为，1里=360步，1步=5尺=500分
          80×360×500÷3=4800000（转）
  所以，黍米转了480万转。

  这是一个很简单的四则趣题。为什么借“黍米”来命题呢？这与我国度量衡制度形成的历史背景有关。这里我们讲一个“黍米起度”的典故。
  数学源于生活，度量衡制度的建立是生活的需要。何谓度量衡？“度，乃分别长短之法也”。“量，乃分别多寡之法也”。“衡，乃分别轻重之法也”。古代建立度量衡制度的“标准参照物”是什么呢？《说苑•辨物篇》：“度量权衡，以黍生之。十黍为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。”《汉书•律历志》云：“以子谷秬（jū）黍中者度之，九十分为黄钟之长，十黍为分，十分为寸，十寸为尺。”当时，还确定以山西上党境内者为佳。所谓“积黍为度”，就是以一定数量的中等秬黍积累起来，作为度量的基本单位。
  量的单位是以中等秬黍一千二百粒为一勺，十勺为一合（gě），十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛（hú）。
  衡的单位是定一勺重十二铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石（dàn）。
  需要说明的是度量衡起源的标准并不统一。在人类社会的早期，各人群、部落约定不同的标准是可能的。传说我国夏禹以自己身高定为一丈。又如《孙子算经》载：“度之所起于忽，欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸……。称之所起，起于黍，十黍为一垒，十垒为一铢，二十四铢为一两……。量之所起于粟，六粟为一圭（gūi），十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，……。”起源之说虽然不一，从中可以看出，我国以农立国，度量权衡，无一不与农业有关，但最终要靠国家立法，定为制度。
  春秋战国时代，各国各自为政，度量制度很不统一，秦始皇统一六国以后，规范了文字，统一了货币和度量衡。这样秦制就成了我国度量制度的基础，一直延续下来。
  
  练习题：今有屋基，南北三丈，东西六丈，欲以砖砌之。凡积二尺，用砖五枚，问计几何？ （答曰：四千五百枚）

王国荣

3、排鱼求数
    三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头。
    试问鱼儿多少数，请君对面说因由。
    答曰：五万四千个
                        选自《算法统宗》

  这是给儿童们计算的一道游戏题，目的在于巩固乘除运算方法。
  已知3寸长的小鱼一个一个头尾相接排在一条9里长的水沟中，请问一共有多少条鱼？
  按照明朝的度量制度，1里=360步，1步=5尺=50寸。
  所以鱼的个数是
  9×360×50÷3=3240×50÷3=54000（条）

  我国古代的计量制度
  长度：引、丈、尺、寸、分五种长度单位，合称五度，都是十进。其下还有厘、毫、秒、忽四种长度单位。
  土地丈量中还有长度单位“步”，中国古代所说的步相当于今“步”的二倍。
  秦汉时规定：1步=6尺， 1里=300步=1800尺
  这个制度一直沿用到唐代，自唐以后改为：1步=5尺，1里=360步。
  此外，量布时还有单位“匹”：1匹=4丈。
  地积：1亩=60方丈=240方步 ，1顷=100亩。
  容积：《汉书•律历志》载，斛、斗、升、龠（yuè）、合（gě）合称五量，其中1合=2龠，其余都是十进。
  重量：《汉书•律历志》载，石、钧、斤、两、铢合称五权，其进制是
  1石=4钧  1钧=30斤  1斤=16两  1两=24铢
  时间：相传我国在夏朝（四千多年前）就有了历法，所以叫“夏历”，又叫农历。一年分12个月，一日分12个时辰，子正在午夜0时，子初在夜11时整，子终在凌晨1时整。白天、黑夜各6个时辰，白天从卯时初起算，申终完了。

  关于古制和今制的换算，根据专家们对秦汉时期文物的测定，以下数据可供参考：
  1尺≈23.1厘米  1斤≈250克  1升≈200立方厘米
  这些关系建立了古今联系，在研究、分析古代一些社会经济问题时还是很有用的。
  例：秦始皇在位期间，建造了许多豪华的宫殿，其中阿房宫最为华丽。据记载，“前殿东西500步，南北50丈，可坐1万人，能竖5丈高的旗杆。”试按今制计算一下这个宫殿的建筑面积和旗杆的高度。
  解  东西长：500步=500×6尺=3000尺
             =3000×0.231米≈693米
      南北长50丈=500尺≈115.5米
      面积：693×115.5=80041.5平方米≈120亩
      旗杆高：50×0.231≈11.6米

  练习题：
  1、老人问甲歌
   有一公公不记年，  手持竹杖在门前。
   借问公公年几岁，  家中数目记分明。
   一两八铢泥弹子，  每岁盘中放一丸。
   时长日久被淋湿，  浑然化作一泥团。
   秤重八斤零八两，  细算才知得几年。
    （答曰：一百零二岁）

  2、据《三国演义》记载，刘备身高7.5尺，关羽身高9.3尺，张飞身高8尺，关羽的青龙偃月刀重82斤，试按今制算一算他们身高和刀重。
（答案：刘备1.73米，关羽 2.15米，张飞 1.85米，刀重20.5公斤。）

王国荣

4、三藏取经
  三藏西天去取经，一去十万八千里。
  每日常行七十五，问公几日得回程。
  答曰：一千四百四十日
                      选自《算法统宗》

  这是根据《西游记》中的故事编写的一道趣题，练习简单的四则运算。本题是说，唐僧去西天取经，一共走了十万八千里。已知他每天走七十五里，问一共走了多少天？
    108000÷75=1440天
    1440÷360=4（年）
  所以，唐僧去西天取经共走了1440天，合4年。

  数的传说
  数字产生于人类生产、生活的需要。凡是有人群生活的地方，就必然要记数、要运算，即使在原始时代也是如此。“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”（《易经》），实质上就标志了数的产生。但在远古时代，对数是如何产生的，人们作了许多猜想，并结合祖先改造自然的重大事件或文化上的突出成就编造了许多神奇的故事一直流传至今，这不是无中生有，但也不会那么神奇，这里包含了人民对祖先的敬重。
  最突出的两个传说是“河图洛书”与“隶首作数”。传说伏羲与女娲氏相婚，产生了人类。伏羲称王后，有龙马从黄河里负图出水，献给伏羲，这是一幅数字、星座的排列图，伏羲据此图画了“八卦”，编了《周易》，又经孔子研究修改列为儒家经典，称为《易经》，被世人誉为“神州第一奇书”。又传说大禹治水有功，有神龟从洛水里出现，背负洛书献给大禹，据此编成《洪范九畴》，作为治理天下之大法。“图书”一词也就源出于此。河图、洛书的数学价值很高，根据河图画出的八卦实际上就是最早的二进制。18世纪德国数学家莱布尼茨创立二进制时，就是受八卦的启发，他自己也承认，他只不过是重新发现了中国古代数学中的秘密而已。洛书，列成数表就是一张纵横图是现代组合数学中最古老的例子，是训练思维的数学幻方，如今在程序设计、图论等方面都有广泛的应用。
  到了黄帝时代，又有了进一步的概括和发展，黄帝命他的史官隶首作数，这样，数就产生了。“隶首”二字又往往成为我们中国数学事业的代名词。

  练习题：
  1、笔套取齐
    八万三千短竹竿，将来要把笔头安。
    管三套五为期定，问君多少能完成。（选自《算法统》）
  说明：一竿竹可截成毛笔管3个，或截成毛笔套5个。今有短竹83000竿，如何裁截配套成笔？
答曰：管套155625个，管竹51875竿，套竹31125竿。

  2、数珠一串
   今有数珠一串，数来仔细分明。
   三枚无剩五无零，七个约之恰尽。
   欲问共该多少，推穷妙法门庭。
   知公能算惯纵横，此法不难易懂。
（选自《九章算法比类大全》）
       答曰：105