三翁垂钓

王国荣

                                                                              三翁垂钓

  今日翻书，见一古算题，趣味甚浓，并勾起往事回忆。先将题目抄录于下：

  三老翁甲、乙、丙合伙钓鱼并将所钓的鱼放在一起。钓毕，甲将鱼均分成三堆，多一条扔去，自取一堆；乙来后，误以为鱼未分，将所剩的鱼放在一起，均分三堆，多一条扔去，自取一堆；丙来后亦同乙一样，将两堆鱼和在一起，均分成三堆，多一条扔去，自取一堆，问鱼的总数是多少？

  道来话长，我刚上初中时，舅妈来信附了此题，考考外甥。无奈我愚钝，怎么也解不开。只得惭愧地向舅妈乞求答案，方才恍然大悟，此题遂牢记在心。然而我只晓答案，不知解法。多年来，曾数次将题示以同学、朋友求教，皆不能解。直到在北大荒的小山屯遇到李晓东，这位当年上海复旦附中的高才生，他轻松解答了我多年的问题，让我佩服得五体投地。

  今日看到此题，不由想起当年在小山屯学校，与李晓东共事的愉快而难忘日子。我遥祝远在美国的李晓东生活幸福，健康快乐！

  此题的答案是25（三翁所钓鱼数的最小值）。不知荒友们可有兴趣思考一下这简单的答案是如何求出来的？

葛长根

设丙得鱼数为X条，
则乙所剩下的鱼为（3X+1），
乙得鱼为（3X+1）/2，
甲所剩下的鱼为3（（3X+1）/2)+1，
甲得鱼为{3（（3X+1）/2)+1}/2，
这样鱼的总数为3[{3（（3X+1）/2)+1}/2]+1，
上式化简为（27X+19）/4
当X为3时，其最小正整数为25

王国荣

葛长根 发表于 2014-6-13 18:23

  长根兄思维敏捷，很快给出一种解法，多谢！长根与晓东下乡前都毕业于上海复旦附中，1977年恢复高考后，一起从北大荒考入华东师大，分别攻读物理与数学，毕业后都有建树，让我钦佩。

王国荣

mihu 发表于 2014-6-13 20:41
因为甲、乙留给下家的鱼都必须为偶数，故X的取值应为奇数并是3+4n一个等差数列，如3、7、11、15……而总 ...

   明亮兄思路清晰，观察仔细。谢谢！

王国荣

   李晓东当年演示的解题方法如下，他为了给我这个缺乏数学训练的人讲解，算式列得较细。现在我因电脑输入中分数线无法显示，用斜线来代替，显得不规范。很抱歉。

   设鱼的总数为X条，
  甲取1/3 (X-1)条，余
          Y1=2/3(X-1)                           (1)

  乙取1/3( Y1--1)条，余
  Y2=2/3(Y1--1)=2/3[2/3(X-1)-1]=4/9X-2/3(1+2/3)     (2)

  丙取1/3(Y2-1)条，余
   Y3=2/3(Y2-1)=8/27 X-2/3(1+2/3+4/9)=8/27 X-38/27  (3)

(3)式去分母
   27Y3=8X-38                                   (4)

(4)式是一个二元一次不定方程
   X=3Y3+4+(3Y3+6)/8                             (5)

  令t=(3Y3+6)/8, 即3Y3+6=8t
               Y3=2t-2+2t/3                     (6)

  再令 t=3k, k取整数，代入(6) 式有
       Y3=6k+2k-2 =8k-2                          (7)

  代入（5）
  X=3(8k-2)+4+3k=27k-2                           (8)

  所以 X=27k-2
       Y3=8k-2
  是不定方程（4）整数解的一般表达式。
  当k=1时,X=25（条）是三翁所钓鱼数的最小值。